Igual que en el libro (Sección 4.4), usamos un solo ejemplo corrido para
ilustrar las seis definiciones: X̄n, la media
muestral de la población que elijas abajo, con media verdadera
μ = 12.
¿Cómo se construye cada trayectoria? Se generan observaciones
independientes de la población elegida, una por una. En el paso $n$, el
valor graficado es el promedio acumulado de las primeras $n$
observaciones de esa trayectoria: X̄n =
(X1+…+Xn)/n. Las 15 líneas del panel
izquierdo son 15 secuencias simuladas de manera completamente
independiente entre sí (no comparten ningún dato), lo que ilustra
que la convergencia casi segura ocurre trayectoria por trayectoria,
no en promedio entre ellas.
5
1.5
15 trayectorias de X̄n (Def. 4.4.1–4.4.2)
trayectoriasμ = 12banda ±ε
Distribución de X̄n en n = 5 (Def. 4.4.3, 4.4.6)
1000 réplicas de X̄nμ = 12
P(|X̄n − μ| > ε) — empírica
—
Convergencia en probabilidad: → 0
E|X̄n − μ| — empírica
—
Convergencia en media: → 0
E[(X̄n − μ)²] — emp. / teórica
—
Var(X̄n) teórica
¿Qué definición ilustra cada parte?
Puntual (Def. 4.4.1): exigiría que cada trayectoria azul, vista como una sucesión de números, converja exactamente a μ. Es la condición más fuerte de todas, y la razón por la que necesitamos las demás: casi nunca se verifica ni se necesita en la práctica.
Casi segura (Def. 4.4.2): el panel izquierdo la muestra directamente: cada trayectoria individual, con probabilidad uno, termina asentándose cerca de μ conforme n crece. Presiona "Reproducir animación" y observa cómo el manojo de líneas se acerca a la banda verde y ya no se aleja.
En media (Def. 4.4.4) y en media cuadrática (Def. 4.4.5): el panel de estadísticos muestra E|X̄n-μ| y E[(X̄n-μ)²] calculados sobre 1000 réplicas frescas en el n actual. Sube n y observa cómo ambos bajan hacia 0 (el segundo, exactamente como la varianza poblacional entre n).
En probabilidad (Def. 4.4.3): el histograma de la derecha es la distribución muestral completa de X̄n en el n actual. La probabilidad de caer fuera de la banda ±ε (el estadístico de la izquierda arriba) se calcula directamente de esas 1000 réplicas, y se reduce conforme n crece.
En distribución (Def. 4.4.6): aquí el límite es la constante μ, así que "converger en distribución" equivale a "converger en probabilidad" (Teorema 4.4.1, incisos (iv)-(v) del libro). Por eso el mismo histograma que colapsa en el panel derecho ilustra ambas definiciones a la vez: con μ constante no hay una distribución límite no degenerada que dibujar (para eso hace falta reescalar con √n, como en el Teorema Central del Límite de la Sección 4.7).
¿Por qué cambiar la población? Prueba las tres opciones: la convergencia ocurre igual con una población simétrica y acotada (Uniforme), una sesgada y sin cota superior (Exponencial), o una discreta con solo dos valores posibles (Bernoulli). Ninguna de las seis definiciones exige que la población tenga una forma particular, solo que tenga media (y, para algunas, varianza) finita.
Las 15 trayectorias se generan de nuevo cada vez que cambias de población (o presionas "Reproducir animación"); no cambian al mover ε. Solo el histograma de la derecha se recalcula con muestras nuevas cada vez que cambias n o ε, ya que ilustra la distribución de X̄n en ese tamaño de muestra específico, no una trayectoria en el tiempo.