Simulación: el Teorema Central del Límite en acción
Observación 4.7.1: el TCL no impone ninguna condición sobre la forma
de la población, solo que tenga varianza finita. Elige abajo una
población que se parezca a alguna variable económica o financiera
real (ninguna es normal) y observa cómo la distribución de
X̄n se acerca a la normal conforme crece n — sin
importar cuál elijas.
5
Distribución de X̄n (2000 réplicas) vs. la normal que predice el TCL
2000 réplicas de X̄nNormal(μ, σ²/n) — TCL
Media de X̄n — emp. / teórica
—
μ
Varianza de X̄n — emp. / teórica
—
σ²/n
Asimetría — emp. / teórica (≈)
—
∝ 1/√n → 0
Curtosis — emp. / teórica (≈)
—
→ 3 (mesocúrtica)
¿Por qué la asimetría y la curtosis se comportan así?
Sea cual sea la población, la asimetría de X̄n se acerca a 0 aproximadamente como (asimetría de la población)/√n, y su curtosis se acerca a 3 aproximadamente como 3 + (exceso de curtosis de la población)/n. No es una casualidad de una distribución en particular: es una consecuencia general del Teorema Central del Límite, la misma idea que viste en simulacion_chi2_convergencia.html pero aplicable a cualquier población con varianza finita.
Con la Bernoulli(0.06) o la log-normal, la población de partida es muy asimétrica (pocos incumplimientos, pero grandes cuando ocurren); aun así, X̄n se simetriza con n grande.
Con la t de Student, la población ya es simétrica (asimetría 0) pero de colas pesadas (curtosis alta); el TCL corrige la curtosis, no la asimetría, que ya partía de 0.
Las curtosis empíricas de esta simulación pueden fluctuar bastante de una réplica a otra, sobre todo con la t de Student: los momentos de cuarto orden de poblaciones de colas pesadas se estiman con mucha variabilidad, aun con 2000 réplicas.
Cada vez que mueves n o cambias de población, se generan 2000 réplicas frescas de X̄n para recalcular el histograma y los estadísticos.
Elaborado por C. Vladimir Rodríguez-Caballero (Depto. Estadística, ITAM)